Question

14．已知函数f（x）=|x-a|+|2x-a|（a∈R）．
（1）若f（1）＜11，求a的取值范围；
（2）若?a∈R，f（x）≥x²-x-3恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）讨论a的范围，得出f（1）关于a的解析式，从而解出a的值；
（2）把a看作自变量，利用绝对值三角不等式得出|x-a|+|2x-a|的最小值，从而得出关于x的不等式解出．

解答 解：（1）f（1）=|1-a|+|2-a|=$\left\{\begin{array}{l}{3-2a，a≤1}\\{1，1＜a＜2}\\{2a-3，a≥2}\end{array}\right.$，
当a≤1时，3-2a＜11，解得a＞-4，∴-4＜a≤1；
当1＜a＜2时，1＜11恒成立；
当a≥2时，2a-3＜11，解得a＜4，2≤a＜4．
综上，a的取值范围是（-4，4）．
（2）f（x）=|x-a|+|2x-a|≥|x-a-（2x-a）|=|x|，
∴|x|≥x²-x-3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≥{x}^{2}-x-3}\\{x≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-x≥{x}^{2}-x-3}\\{x＜0}\end{array}\right.$，
解得0≤x≤$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$或-$\sqrt{3}≤$x＜0．
∴-$\sqrt{3}$≤x≤$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，属于中档题．