Question

抛物线y²=2px上不同两点A，B（异于原点O）若OA，OB所在直线斜率之和定值m（m≠0）则直线AB必经过（　　）

• A、（0，

  p

  m

  ）
• B、（0，

  2p

  m

  ）
• C、（-

  2p

  m

  ，0）
• D、（-

  p

  m

  ，0）

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出抛物线y²=2px上不同两点A，B的坐标为（

y 2 1

2p

，y₁），（

y 2 2

2p

，y₂），结合OA，OB所在直线斜率之和定值m，可得

y1•y2

y1+y2

=

2p

m

，设出直线AB的两点式方程，化简后让x=0，可得直线AB所过定点的坐标．

解答： 解：设点A（

y 2 1

2p

，y₁），B（

y 2 2

2p

，y₂），
则kOA=

y1

y 2 1 2p

=

2p

y1

，kOB=

y2

y 2 2 2p

=

2p

y2

，
由已知得：

2p

y1

+

2p

y2

=

2p(y1+y2)

y1•y2

=m，
即

y1+y2

y1•y2

=

m

2p

，即

y1•y2

y1+y2

=

2p

m

，
由直线AB的方程为：

y-y2

y1-y2

=

x- y 2 2 2p

y 2 1 2p - y 2 2 2p

，
整理得：y=

2px+y1•y2

y1+y2

，
当x=0时，y=

y1•y2

y1+y2

=

2p

m

，
故直线必经过（0，

2p

m

）点，
故选：B

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，直线的斜率公式，直线的两点式方程，难度中档．