Question

已知P是以F₁，F₂为焦点的椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的任意一点，若∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，且cosα=

5

5

，sin（α+β）=

3

5

，则此椭圆的离心率可以为（　　）

• A、

  3

  4

• B、

  3

  3

• C、

  2

  4

• D、

  5

  7

  ，或

  5

  15

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知条件可得，sinα，cos（α+β），sinβ，在△PF₁F₂中由正弦定理可得出|PF₁|，|PF₂|的关系，若设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则可得到m，n的关系，根据椭圆的定义m+n=2a，所以可用a表示m，n．而根据余弦定理即可得到a，c的关系，这样既可得到关于离心率e的方程，解方程即得离心率的值．

解答： 解：∵cosα=

5

5

，sin（α+β）=

3

5

；
∴sinα=

2 5

5

，cos（α+β）=±

4

5

；
∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=

3

5

•

5

5

+

4

5

•

2 5

5

=

11 5

25

，或

3

5

•

5

5

-

4

5

•

2 5

5

＜0（舍去）；
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则由正弦定理得：

m

sinβ

=

n

sinα

；
∴m=

sinβ

sinα

•n=

11 5 25

2 5 5

•n=

11n

10

；
∵m+n=2a；
∴m=

22a

21

，n=

20a

21

；
∴由余弦定理得：(

20a

21

)2=(

22a

21

)2+4c2-

88ac

21

•

5

5

；
整理得：21e2-

22 5

5

e+1=0；
解得e=

5

7

，或

5

15

．
故选D．

点评：考查两角差的正弦公式，以及正弦定理，余弦定理，椭圆的标准方程，椭圆的定义，椭圆离心率的概念．