Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距．
（Ⅰ）求椭圆C方程；
（Ⅱ）过点F的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，是否存在直线l，使得△BFM与△BFN的面积之比为1？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,分类讨论,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）由题意可得c=1，a=2c，再由a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；
（II）①当直线l的斜率不存在时，②当直线l的斜率存在时，设为k，此时直线l的方程为y=k（x-1），
联立直线方程和椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，解方程，即可得到k．

解答： 解：（I） 由题意知

a2=b2+c2 c=1 a=2c

，解得a²=4，b²=3，
所求椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）①当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为x=1，
由

x=1 x2 4 + y2 3 =1

，解得

x1=1 y1= 3 2

或

x2=1 y2=- 3 2

，
即M(1，

3

2

)，N(1，-

3

2

)，而B(0，

3

)，F（1，0），
易知△BFM与△BFN的面积之比为1；所以，直线x=1满足题意．
②当直线l的斜率存在时，设为k，此时直线l的方程为y=k（x-1），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，消去x得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
所以x1+x2=-

8k2

3+4k2

，△BFM与△BFN的面积之比为1，则F为MN的中点．
所以

x1+x2

2

=1，即x1+x2=-

8k2

3+4k2

=2，
化简得8k²+3=0，此方程无解．
综上，直线l：x=1，使得△BFM与△BFN的面积之比为1成立．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理和中点坐标公式，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．