Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，AP=AB，E、F分别是BC、PC的中点．
（1）求证：AE⊥平面PAD；
（2）求四棱锥A-BEFP的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据线面垂直的判定定理即可证明AE⊥平面PAD；
（2）根据棱锥的体积公式，利用割补法即可求四棱锥A-BEFP的体积．

解答： 证明：（1）依题意，在等腰△ABC中，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，又E是BC的中点，
∴AE⊥BC，又BC∥AD，
∴AE⊥AD；
∵PA⊥底面ABCD，AE?底面ABCD，
∴AE⊥PA；
PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD
（2）连结OF，则OF是△PAC的中位线，
则OF⊥平面ABCD，且OF=

1

2

AP=1，
则四棱锥A-BEFP的体积V_{四棱锥A-BEFP}=V_P-ABC-V_F-AEC=

1

3

•S△ABC•PA-

1

3

S△AEC•OF
=

1

3

×

1

2

×22×

3

2

×2-

1

3

×

1

2

×

1

2

×22×

3

2

×1=

3

2

．

点评：本题主要考查线面垂直的判定，以及棱锥的体积的计算，利用割补法是解决本题的关键．