Question

给出下列命题：
①y=1是幂函数；
②函数f（x）=2^x-x²的零点有2个；
③(x+

1

x

+2)5展开式的项数是6项；
④函数y=sinx（x∈[-π，π]）图象与x轴围成的图形的面积是S=

∫

π -π

sinxdx；
⑤若ξ～N（1，σ²），且P（0≤ξ≤1）=0.3，则P（ξ≥2）=0.2；
其中真命题的序号是

 

（写出所有正确命题的编号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,概率与统计,二项式定理

分析：①，利用幂函数的概念可判断①错误；
②，作出函数f（x）=2^x-x²的图象，可判断②错误；
③，将原式化为(x+

1

x

+2)5=

(x+1)10

x5

，利用二项式定理可知，展开式的项数，可判断③错误；
④，利用微积分定理可求得函数y=sinx（x∈[-π，π]）图象与x轴围成的图形的面积，再计算S=

∫

π -π

sinxdx，可判断④错误；
⑤，利用正态密度分别曲线的性质，可知P（1≤ξ≤2）=0.3，P（ξ≥2）=

1-2P(0≤ξ≤1)

2

=

1-0.3×2

2

=0.2，可判断⑤正确．

解答： 解：对于①，y=x⁰（x≠0）是幂函数，但y=1不是幂函数，故①错误；
对于②，由图可知，函数f（x）=2^x-x²的零点有3个，故②错误；
对于③，(x+

1

x

+2)5=[

(x+1)2

x

]5=

(x+1)10

x5

展开式的项数是11项，故③错误；
对于④，函数y=sinx（x∈[-π，π]）图象与x轴围成的图形的面积是S=2

∫

π 0

sinxdx=-2cosx

|

π 0

=2，
又

∫

π -π

sinxdx=-cosx

|

π -π

=-[cosπ-cos（-π）]=0，显然2≠0，故④错误；
对于⑤，因为ξ～N（1，σ²），且P（0≤ξ≤1）=0.3，故P（1≤ξ≤2）=0.3，
所以则P（ξ≥2）=

1-2P(0≤ξ≤1)

2

=

1-0.3×2

2

=0.2，故⑤正确；
故答案为：⑤．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查幂函数的概念、函数的零点、二项式定理的应用及定积分、正态密度曲线的性质及应用，考查转化思想与作图、分析、运算等综合能力，是难题．