Question

已知等差数列{a_n}中，a₂+a₄=10，a₇=13，等比数列{b_n}的公比q小于1，且b₁，b₂是方程27x²-12x+1=0的两根．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用已知条件直接求出等差数列和等比数列的通项公式．
（利用（1）的结论，使用乘公比错位相减法求得数列的和．

解答： 解：（1）已知等差数列{a_n}中，a₂+a₄=10，a₇=13，
则：

a7=13 a2+a4=10

解得：a_n=2n-1
等比数列{b_n}的公比q小于1，且b₁，b₂是方程27x²-12x+1=0的两根，
所以：

b1= 1 3 b2= 1 9

解得：bn=(

1

3

)n
（2）由（1）得：
cn=anbn=(2n-1)(

1

3

)n
T_n=c₁+c₂+…+c_n=1•

1

3

+3•(

1

3

)2+…+(2n-3)(

1

3

)n-1+(2n-1)(

1

3

)n①

1

3

Tn=1•(

1

3

)2+3•(

1

3

)3+…+（2n-1）•(

1

3

)n+1②
①-②得：Tn=

3

2

[1-(

1

3

)n]-

1

2

-

3

2

(2n-1)(

1

3

)n+1]=-(n-1)(

1

3

)n+1

点评：本题考查的知识要点：等差，等比数列的通项公式的求法，利用乘公比错位相减法求数列的和．属于基础题型．