Question

已知函数f（x）=x-alnx（a∈R）
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性与极值；
（3）当a=2时，求函数f（x）在[1，3]上的最值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求导，根据导数的几何意义得到k=f'（1），故可求出切线方程；
（2）根据导数和函数的单调性和极值的关系即可求出，
（3）由（2）值知道函数的单调区间，函数的极小值就是最小值，再根据端点值得到函数的最大值．

解答： 解：（1）a=2时，f（x）=x-2lnx，
∴f′(x)=1-

2

x

，
∴k=f'（1）=-1，
又f（1）=1，
故切线方程为：y-1=-1（x-1）
即y=-x+2．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=1-

a

x

=

x-a

x

①当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值；
②当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
f_极小=f（a）=a-alna，无极大值．
（3）因为当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
所以函数在[1，2]上递减，在（2，3]上递增．
最小值为f（2）=2-2ln2
因为f（1）=1，f（3）=3-2ln3．
f（1）＞f（3）．
所以最大值为1．

点评：本题考查了导数的几何意义，即切线方程的求法，以及导数和函数的单调性极值最值的关系，属于中档题