Question

已知在直三棱柱ABO-A₁B₁O₁中，OO₁=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，点D是线段A₁B₁的中点，点P是侧棱BB₁上一点，若O₁P与平面AOB所成的角正切值为

3

8

．
（1）求证：OP⊥BD；
（2）求二面角D-OP-B的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明OP⊥BD．
（2）由题意知平面OPB的法向量

n

=（1，0，0），求出平面DOP的法向量，由此能求出二面角D-OP-B的余弦值．

解答： （1）证明：以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
O₁P与平面AOB所成的角正切值为

3

8

，
∴

O1P

与平面AOB的法向量

n

=（0，0，1）的余弦值为

3 73

73

，
设P（0，3，t），O₁（0，0，4），
∴

O1P

=（0，3，t-4），
∴|cos＜

O1P

，

n

＞|=|

t-4

9+(t-4)2

|=

8 73

73

，解得t=

9

8

．
∴

OP

=（0，3，

9

8

），
A₁（4，0，4），B₁（0，3，4），
D（2，

3

2

，4），B（0，3，0），

BD

=（2，-

3

2

，4），
∴

BD

•

OP

=0，
∴OP⊥BD．
（2）解：由题意知平面OPB的法向量

n

=（1，0，0），
设平面DOP的法向量

m

=（x，y，z），
∵

OD

=(2，

3

2

，4)，

OP

=（0，3，

9

8

），
∴

m • OD =2x+ 3 2 y+4z=0 m • OP =3y+ 9 8 z=0

，
取z=8，得

m

=（-

55

4

，-3，8），
∴|cos＜

m

，

n

＞|=|

- 55 4

(- 55 4 )2+8+64

|=

55 4177

4177

．
∴二面角D-OP-B的余弦值为

55 4177

4177

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．