Question

已知直角梯形PDCB中（如图1），PD=2，DC=BC=1，A为PD的中点，
将△PAB沿AB折起，使面PAB⊥面ABCD（如图2），点F在线段PD上，PF=2FD．
（1）求异面直线BP与CF所成角的余弦值；
（2）求二面角D-AC-F的余弦值；
（3）在四棱锥P-ABCD的棱PC上是否存在一点E，使得BE∥平面AFC，若存在，求出E点的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得PA⊥AB，从而PA⊥面ABCD，以A为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BP与CF所成角的余弦值．
（2）由已知，得

AP

=(0，0，1)为平面ACD的法向量，求出平面AFC的法向量，利用向量法能求出二面角D-AC-F的余弦值．
（3）法一：连接BD，交AC于O，取PF中点G，连BG，EG，FO，由已知得EG∥FC，OF∥BG，从而得到BE∥平面AFC．
（3）法二：假设在四棱锥P-ABCD的棱PC上存在一点E，使得BE∥平面AFC，设CE=λCP，由

BE

=

BC

+

CE

，得

BE

=（-λ，1-λ，λ），由此利用向量法能推导出存在PC的中点E，使得BE∥平面AFC．

解答： （本小题满分14分）
解：（1）依题意知：PA⊥AB．
又∵面PAB⊥面ABCD，面PAB∩面ABCD=AB，PA?面PAB，
∴PA⊥面ABCD．…（2分）
又∵AD⊥AB．∴以A为原点，建立如图所示的坐标系，…（3分）
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），
D（0，1，0），P（0，0，1）．…（4分）
由于

PF

=2

FD

，
∴

AF

=

AP

+

2

3

PD

=(0，0，1)+(0，

2

3

，-

2

3

)=(0，

2

3

，

1

3

)，
即F(0，

2

3

，

1

3

)．…（5分）
∴

BP

=(-1，0，1)，

CF

=(-1，-

1

3

，

1

3

)．
∴cos＜

BP

，  

CF

＞=

BP • CF

|BP |•| CF |

=

4 3

2 • 11 9

=

2 22

11

．…（6分）
（2）由已知，得

AP

=(0，0，1)为平面ACD的法向量．…（7分）
设平面AFC的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • AC =0 n • AF =0

，即

x+y=0 2 3 y+ 1 3 z=0

，…（8分）
令z=2，则x=1，y=-1，即

n

=(1，-1，2)．…（9分）
二面角D-AC-F的平面角为θ，
则cosθ=

n • AP

| n || AP |

=

2

6

=

6

3

．…（10分）
（3）方法一：存在PC的中点E，使得：BE∥平面AFC，
证明如下：
连接BD，交AC于O，取PF中点G，连BG，EG，FO．
在△PCF中，E，G分别为PC，PF中点，则EG∥FC．…（11分）
在△BDG中，O，F分别为BD，DG中点，则OF∥BG．…（12分）
所以平面BEG∥平面FAC．
又BE?平面BEG，
所以BE∥平面AFC．…（14分）
方法二：假设在四棱锥P-ABCD的棱PC上存在一点E，使得BE∥平面AFC，
不妨设：CE=λCP，…（11分）
由

BE

=

BC

+

CE

，得

BE

=（-λ，1-λ，λ）．…（12分）
由（2）知平面AFC的法向量

n

=(1，-1，2)，
由

BE

•

n

=0得λ=

1

2

．…（13分）
故存在PC的中点E，使得BE∥平面AFC．…（14分）

点评：本题考查异面直线BP与CF所成角的余弦值的求法，考查二面角D-AC-F的余弦值的求法，考查在四棱锥P-ABCD的棱PC上是否存在一点E，使得BE∥平面AFC的判断与证明，解题时要注意空间思维能力的培养．