Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．
（1）求证：AF⊥平面PCD；
（2）求证：平面PCE⊥平面PCD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）由已知可先证明AF⊥PC，由于CD⊥AD，PA⊥CD，且PA∩AD=A，可证CD⊥平面PAD，由AF?平面PAD，从而证明CD⊥AF，又CD∩PD=D，故有AF⊥平面PCD．
（2）取PC的中点G，连接EG，GF，可证EG∥AF，有AF⊥平面PCD，又EG⊥平面PCD，又EG?平面PCE，故可证平面PCE⊥平面PCD．

解答： 证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，AD，CD?底面ABCD，PA⊥AD，PA⊥CD
又∠PDA=45°，∴△PAD为等腰三角形，∵F是FD的中点，∴AF⊥PC…2分
∵CD⊥AD，PA⊥CD，且PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD
又AF?平面PAD，∴CD⊥AF，
又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PCD…5分
（2）
取PC的中点G，连接EG，GF…8分
∵E为AB的中点，∴EA∥CD且EA=

1

2

CD
∵F为PD的中点，∴GF∥CD且GF=

1

2

CD
∴EA∥GF且GF=EA，∴四边形AEGF是平行四边形…10分
∴EG∥AF，∵AF⊥平面PCD
∴EG⊥平面PCD，又EG?平面PCE
∴平面PCE⊥平面PCD…12分

点评：本题主要考察了平面与平面垂直的判定，直线与平面垂直的判定，属于基本知识的考查．