Question

已知双曲线

x2

9

-

y2

16

=1的左右焦点分别为F₁、F₂，O为双曲线的中心，P是双曲线右支上的点△PF₁F₂的内切圆的圆心为I，且圆I与x轴相切于点A，过F₂作直线PI的垂线，垂足为B，则|OA|•|OB|=（　　）

• A、3
• B、9
• C、25
• D、16

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用切线长定理，结合双曲线的定义，把|PF₁|-|PF₂|=6，转化为|AF₁|-|AF₂|=6，从而求得点A的横坐标．再在三角形PCF₂中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在三角形F₁CF₂中，利用中位线定理得出OB，从而解决问题．

解答： 解：根据题意得F₁（-5，0）、F₂（5，0），
设△PF₁F₂的内切圆分别与PF₁、PF₂切于点A₁、B₁，与F₁F₂切于点A，
则|PA₁|=|PB₁|，|F₁A₁|=|F₁A|，|F₂B₁|=|F₂A|，
又点P在双曲线右支上，
所以|PF₁|-|PF₂|=6，故|F₁A|-|F₂A|=6，而|F₁A|+|F₂A|=10，
设A点坐标为（x，0），
则由|F₁A|-|F₂A|=6可得（x+5）-（5-x）=6，解得x=3，
故|OA|=3，
则△PF₁F₂的内切圆的圆心在直线x=3上，
在三角形PCF₂中，由题意得，三角形PCF₂是一个等腰三角形，PC=PF₂，
∴在三角形F₁CF₂中，有：
|OB|=

1

2

|CF₁|=

1

2

（|PF₁|-|PC|）=

1

2

（|PF₁|-|PF₂|）=3，
∴|OA|•|OB|=9，
故选：B

点评：本题考查双曲线的定义、切线长定理．解答的关键是充分利用平面几何的性质，如三角形内心的性质等．