Question

函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足以下两个条件：(1)在[m，n]上是单调函数；(2) 在[m，n]上的值域为[2m，2n]，则称区间[m，n]为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有　         　（填上所有正确的序号）
①=x²（x≥0）；      ②=e^x（x∈R）；
③=；④=．

Answer 1

①③④

试题分析：函数中存在“倍值区间”，则：(1)在内是单调函数；(2)，或，①，若存在“倍值区间” ，则，∴，∴，∴，故存在“倍值区间” ；②，若存在“倍值区间” ，则，∴，构建函数，∴，∴函数在上单调减，在上单调增，∴函数在处取得极小值，且为最小值，　∵，∴无解，故函数不存在“倍值区间”；
③，，若存在“倍值区间” ，
则，∴，∴，故存在“倍值区间” ；④且，不妨设，则函数在定义域内为单调增函数，若存在“倍值区间” ，则，∴，则方程，即，由于该方程有两个不等的正根，故存在“倍值区间” ；综上知，所给函数中存在“倍值区间”的有①③④，故答案为：①③④．