Question

设f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是减函数，又f（-2）=0，则（x-3）•f（x）＜0的解集是

 

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Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：根据f（x）是R上的奇函数，又f（-2）=0，求出f（0）=0，f（2）=0，对x＞3，x＜3讨论，同时必须结合函数在（0，+∞）内是减函数，得到f（x）在（-∞，0）内是减函数，先求交集，再求并集即可．

解答： 解：∵f（x）是奇函数，又f（-2）=0，
∴f（-2）=-f（2）=0，即f（2）=0，
∵（x-3）•f（x）＜0，
∴（1）当x＞3时，f（x）＜0，
由于f（2）=0，f（x）在（0，+∞）内是减函数，
∴x＞3时，f（x）＜0成立；
（2）当x＜3时，有f（x）＞0，
由于f（x）是R上的奇函数，故f（0）=0，
又f（2）=0，f（x）在（0，+∞）内是减函数，
①当0＜x＜2时，f（x）＞0，当2＜x＜3时，f（x）＜0，
∴当0＜x＜2时，有（x-3）•f（x）＜0；
②当x＜0时，由奇函数的性质得，f（x）在（-∞，0）内是减函数，
又f（-2）=0，当x＜-2时，f（x）＞0；当-2＜x＜0时，f（x）＜0．
∴当x＜-2时，有（x-3）•f（x）＜0．
综上可得，（x-3）•f（x）＜0的解集是（-∞，-2）∪（0，2）∪（3，+∞）．
故答案为：（-∞，-2）∪（0，2）∪（3，+∞）．

点评：本题考查函数的性质及应用，考查奇函数的定义以及图象特征，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．