Question

【题目】如图，，是离心率为的椭圆的左、右顶点，，是该椭圆的左、右焦点，，是直线上两个动点，连接和，它们分别与椭圆交于点，两点，且线段恰好过椭圆的左焦点.当时，点恰为线段的中点.

（1）求椭圆的方程；

（Ⅱ）判断以为直径的圆与直线位置关系，并加以证明.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）以为直径的圆始终与直线相切

【解析】

（Ⅰ）由当时，点恰为线段的中点，得到，再由，即可求出，得到椭圆方程；

（Ⅱ）先由题意可知直线不可能平行于轴，设的方程为：，、，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理、弦长公式等，结合题中条件，即可得出结论.

解：（Ⅰ）当时，点恰为线段的中点，

，又，联立解得：，，，

椭圆的方程为.

（Ⅱ）由题意可知直线不可能平行于轴，

设的方程为：，、，

联立得： ，

，

（*）

又设，由、、三点共线得，

同理可得.

.

设中点为，则坐标为即，

点到直线的距离.

故以为直径的圆始终与直线相切.