Question

【题目】如图，多面体 ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，且平面ABCD⊥平面DCE．AF∥DE，且AF＝DE＝2，BF＝2．

（1）求证：AC⊥BE；

（2）若点F到平面DCE的距离为，求直线EC与平面BDE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；

（2）.

【解析】

（1）由题意及勾股数可证得平面平面，再由面面垂直的性质可证DE与平面ABCD垂直,可得AC⊥DE，再结合菱形中的垂直证得平面，从而得到结论；

（2）设，连接.由（1）平面，则是在平面内的射影，可得与平面所成的角为.由点F到平面DCE的距离可得菱形中，，可求得OC，在中，可求得EC，则可得结果.

（1）∵，，

∴，

∴，即.

∵，，

∴.

∵平面平面，平面，平面平面，

∴平面，

∴AC⊥DE.①

∵四边形为菱形，

∴. ②

由①②，且，

∴平面.

∴.

（2）设，连接.

由（1）平面，∴是在平面内的射影，

∴与平面所成的角为.

∵，平面，平面，

∴平面，

∴点到平面的距离等于点到平面的距离.

在平面内作，交延长线于.

∵平面平面，

∴平面，

∴.（或转化为点到平面的距离）

∵，∴，

∴菱形中，，

∴.

在中，，

∴.

∴与平面所成角的正弦值为.