Question

18．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=10，${a_{n+1}}=9{S_n}+10（{n∈{N^*}}）$，若m（-1）ⁿ⁺²⁰¹⁶lga_n＜10lga_n+（-1）ⁿ⁺²⁰¹⁷对任意n∈N^*恒成立，则实数m的取值范围是（-10，$\frac{19}{2}$）．

Answer 1

分析 由题意可知：a_n+1=9S_n+10  ①，a_n+2=9S_n+1+10  ②，两式相减即可求得{a_n}是首项a₁=10，公比q=10的等比数列，根据等比数列通项公式即可lga_n=lg10ⁿ=n，分类讨论，分离参数，即可求得m的取值范围．

解答 解：∵a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
∴当n=1时，a₂=9a₁+10=100，
故$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=10，
当n≥1时，a_n+1=9S_n+10  ①，
a_n+2=9S_n+1+10  ②，
两式相减得a_n+2-a_n+1=9a_n+1，
即a_n+2=10a_n+1，则$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=10，
即{a_n}是首项a₁=10，公比q=10的等比数列，
则数列{a_n}的通项公式a_n=10•10_n-1=10ⁿ；
则lga_n=lg10ⁿ=n，
m（-1）ⁿ⁺²⁰¹⁶lga_n＜10lga_n+（-1）ⁿ⁺²⁰¹⁷，
当n为偶数时，则m×n＜10n-1，
则m＜10-$\frac{1}{n}$，当n=2时，10-$\frac{1}{n}$取最大值，最大值为$\frac{19}{2}$，
则m＜$\frac{19}{2}$，
当n为奇数时，则-m×n＜10n+1，
则m＞-10-$\frac{1}{n}$，则n→∞，m取最小值，最小值-10，
即m＞-10，
∴m的取值范围（-10，$\frac{19}{2}$），
故答案为：（-10，$\frac{19}{2}$）．

点评 本题考查等比数列通项公式求法，等比数列的通项公式，考查分类讨论思想，属于中档题．