Question

若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=

1

f(x)

，且当x∈[0，1]，f（x）=x，则函数g（x）=f（x）-log₃|x|的零点个数为

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用

分析：由于f（x+1）=

1

f(x)

，则f（x+2）=f（x），则f（x）是以2为周期的函数，由于当x∈[0，1]，f（x）=x，则由
f（-x）=f（x），则有当x∈[-1，0]，f（x）=-x，画出函数y=f（x）和y=log₃|x|的图象，通过图象观察即可得到零点个数．

解答： 解：由于f（x+1）=

1

f(x)

，
则f（x+2）=

1

f(x+1)

=f（x），
则f（x）是以2为周期的函数，
由于当x∈[0，1]，f（x）=x，
则由偶函数f（x）得，
f（-x）=f（x），
则有当x∈[-1，0]，f（x）=-x，
画出函数y=f（x）和y=log₃|x|的图象，
通过图象观察，共有4个交点，
故函数g（x）=f（x）-log₃|x|的零点个数为4．
故答案为：4．

点评：本题考查函数的周期性和奇偶性及运用，考查函数的零点问题转化为图象的交点问题，属于中档题．