【题目】已知函数
(1)当时,求函数的单调区间及极值;
(2)令,当时,不等式恒成立,
求实数的取值范围;
(3)令,记数列的前n项积为,求证:
【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析;
【解析】
试题分析:(1)由题已知,可得函数解析式,求函数的单调区间和极值(注意定义域)。可先求函数的导数,令,为增区间,反之为减区间,再判断出极值。
(2)由题为在给定区间上的恒成立问题,即成立等价于,变量分离得;,然后构造函数,问题转化为求在的最小值,可求得的取值范围。
(3)为数列不等式的证明,由,联系所证明的结论,可两边取自然对数,再运用对应函数的单调性放缩,可得等差与等比商型数列,利用错位相减法可证得结论。
试题解析:(1)当时,
当时;当时<0
∴当时,无极小值,
且函数的单调增区间为,单调减区间为;
(2)当时, 不等式恒成立等价于≥0
即:恒成立。令
当时, 则:
则实数a的取值范围
(3)由(1)得:当时,在区间单调递减,则:,
即:,
则:
记: ①
②
①-②得:
则:
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设甲、乙、丙三人进行围棋比赛,每局两人参加,没有平局。在一局比赛中,甲胜乙的概率为,甲胜丙的概率为,乙胜丙的概率为.比赛顺序为:首先由甲和乙进行第一局的比赛,再由获胜者与未参加比赛的选手进行第二局的比赛,依此类推,在比赛中,有选手获胜满两局就取得比赛的胜利,比赛结束.
(1)求恰好进行了三局比赛,比赛就结束的概率;
(2)记从比赛开始到比赛结束所需比赛的局数为,求的概率分布列和数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,.
(1)若函数有且只有一个极值点,求实数的取值范围;
(2)对于函数,,,若对于区间上的任意一个,都有,则称函数是函数,在区间上的一个“分界函数”.已知,,问是否存在实数,使得函数是函数,在区间上的一个“分界函数”?若存在,求实数的取值范围;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数f(x)=ax2-a-lnx,其中a ∈R.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)确定a的所有可能取值,使得在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).
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