Question

9．函数f（x）$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{2}（|x-1|）-1|\\;x≠1}\\{0\\;x=1}\end{array}\right.$的单调递增区间为（-1，1），[3，+∞）．

Answer 1

分析 解|x-1|≥2，以及0＜|x-1|＜2便可去掉绝对值号得出$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（x-1）-1}&{x≥3}\\{lo{g}_{2}（1-x）-1}&{x≤-1}\\{-lo{g}_{2}（1-x）+1}&{-1＜x＜1}\\{-lo{g}_{2}（x-1）+1}&{1＜x＜3}\\{0}&{x=1}\end{array}\right.$，这样根据对数函数及复合函数的单调性即可找出f（x）的单调递增区间．

解答 解：解|x-1|≥2得x≥3，或x≤-1，解0＜|x-1|＜2得，-1＜x＜1，或1＜x＜3；
$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（x-1）-1}&{x≥3}\\{lo{g}_{2}（1-x）-1}&{x≤-1}\\{-lo{g}_{2}（1-x）+1}&{-1＜x＜1}\\{-lo{g}_{2}（x-1）+1}&{1＜x＜3}\\{0}&{x=1}\end{array}\right.$；
∴f（x）在[3，+∞），（-1，1）上单调递增；
∴f（x）的单调递增区间为（-1，1），[3，+∞）．
故答案为：（-1，1），[3，+∞）．

点评 考查含绝对值不等式的解法，含绝对值函数的处理方法：讨论x去绝对值号，对数函数的单调性、复合函数的单调性，以及复合函数单调区间的求法．