(本小题满分14分)已知一个数列的各项都是1或2.首项为1,且在第个1和第个1之间有个2,即1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,….记数列的前项的和为.参考:31×32=992,32×33=1056,44×45=1980,45×46=2070
(I)试问第10个1为该数列的第几项?
(II)求和;
(III)是否存在正整数,使得?如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由.
(I)91(项);(II) ;
(III)存在=993+29=1022,使.
解析试题分析:(1)根据题意将第个1与第个1前的2记为第对,那么结合已知条件得到前对共有项数为
(2)因44×45=1980,45×46=2070,2012-1980=32,
故第2012项在第45对中的第32个数。
(3)由于前k对所在全部项的和为,可知结论。
解:将第个1与第个1前的2记为第对,
即为第1对,共项;
为第2对,共项;……;
为第对,共项;
故前对共有项数为.
(I)第10个1所在的项之前共有9对,所以10个1为该数列的
9×(9+1)+1=91(项) …………3分
(II)因44×45=1980,45×46=2070,2012-1980=32,
故第2012项在第45对中的第32个数,从而
又前2012项中共有45个1,其余2012-45=1967个数均为2,
于是 ……………………7分
(III)前k对所在全部项的和为,易得,
,,
即且自第994项到第1056项均为2,而2012-1954=58能被2整除,
故存在=993+29=1022,使. ……………………14分
考点:本试题主要考查了观察法求数列的通项公式,数列求和方法等知识,解题时要善于发现规律,层层深入的解决问题,要有较强的运算能力。
点评:解决该试题的关键是先将数列分组,便于发现规律,如分为(1,2),(1,2,2,2),(1,2,2,2,2,2)…,每组的项数构成数列2,4,6,…,发现将第个1与第个1前的2记为第对,则前对共有项数为最后数列分组求和即可。
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰如图2, 第四件首饰如图3, 第五件首饰如图4, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六变形,依此推断第件首饰所用珠宝数为 颗.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
数列的前n项和记为点在直线上,.(1)若数列是等比数列,求实数的值;
(2)设各项均不为0的数列中,所有满足的整数的个数称为这个数列的“积异号数”,令(),在(1)的条件下,求数列的“积异号数”
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知集合是正整数的一个排列,函数
对于,定义:,,称为的满意指数.排列为排列的生成列;排列为排列的母列.
(Ⅰ)当时,写出排列的生成列及排列的母列;
(Ⅱ)证明:若和为中两个不同排列,则它们的生成列也不同;
(Ⅲ)对于中的排列,定义变换:将排列从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项,其它各项顺序不变,得到一个新的排列.证明:一定可以经过有限次变换将排列变换为各项满意指数均为非负数的排列.
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