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(本小题满分14分)已知一个数列的各项都是1或2.首项为1,且在第个1和第个1之间有个2,即1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,….记数列的前项的和为.参考:31×32=992,32×33=1056,44×45=1980,45×46=2070
(I)试问第10个1为该数列的第几项?
(II)求
(III)是否存在正整数,使得?如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由.

(I)91(项);(II) ;
(III)存在=993+29=1022,使

解析试题分析:(1)根据题意将第个1与第个1前的2记为第对,那么结合已知条件得到前对共有项数为
(2)因44×45=1980,45×46=2070,2012-1980=32,
故第2012项在第45对中的第32个数。
(3)由于前k对所在全部项的和为,可知结论。
解:将第个1与第个1前的2记为第对,
为第1对,共项;
为第2对,共项;……;
为第对,共项;
故前对共有项数为.        
(I)第10个1所在的项之前共有9对,所以10个1为该数列的
9×(9+1)+1=91(项)                              …………3分
(II)因44×45=1980,45×46=2070,2012-1980=32,
故第2012项在第45对中的第32个数,从而
  又前2012项中共有45个1,其余2012-45=1967个数均为2,
于是   ……………………7分
(III)前k对所在全部项的和为,易得,

且自第994项到第1056项均为2,而2012-1954=58能被2整除,
故存在=993+29=1022,使.     ……………………14分
考点:本试题主要考查了观察法求数列的通项公式,数列求和方法等知识,解题时要善于发现规律,层层深入的解决问题,要有较强的运算能力。
点评:解决该试题的关键是先将数列分组,便于发现规律,如分为(1,2),(1,2,2,2),(1,2,2,2,2,2)…,每组的项数构成数列2,4,6,…,发现将第个1与第个1前的2记为第对,则前对共有项数为最后数列分组求和即可。

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