Question

已知（2x+1）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ中令x=0，就可以求出常数，即1=a₀．请你研究其中蕴含的解题方法研究下列问题：若e^x=

+∞

i=0

aixi，即e^x=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+…a_nxⁿ+…，则

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

=

 

．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,导数的运算,数列的求和,二项式系数的性质,归纳推理

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列,二项式定理

分析：通过对e^x=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+…a_nxⁿ+…，连续求导，赋值求出a₀，a₁，a₂，a₃，a₄，猜想a_n，然后求解

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

的值．

解答： 解：对ex=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+…anxn+…
两边求导：ex=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+…nanxn-1+…令x=0得：a1=1⇒

1

a1

=1
再两边求导：ex=2×1a2+3×2a3x+4×3a4x2+…n×(n-1)anxn-2+…令x=0得：a2=

1

1×2

⇒

1

a2

=1×2=2!
再两边求导：ex=3×2×1a3+4×3×2a4x+…n(n-1)(n-2)anxn-3+…令x=0得：a3=

1

1×2×3

⇒

1

a2

=1×2×3=3!
…
猜想：an=

1

1×2×3×…n

⇒

1

an

=1×2×3×…n=n!
所以

n

an

=n×n!=[(n+1)-1]n!=(n+1)!-n!，所以

1

a1

+

2

a2

+

3

a3

…

n

an

=(2!-1!)+(3!-2!)+…[(n+1)!-n!]=(n+1)!-1．
故答案为：（n+1）！-1．

点评：本题考查数列与函数的综合应用，函数的导数以及二项式定理的应用，考查转化思想以及计算能力．