Question

对于f(x)=log

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2

(x2-2ax+3)．
（1）函数的“定义域为R”和“值域为R”是否是一回事？分别求出实数a的取值范围；
（2）结合“实数a的取何值时f（x）在[-1，+∞）上有意义”与“实数a的取何值时函数的定义域为（-∞，1）∪（3，+∞）”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别．

Answer 1

分析：（1）记μ=g（x）=（x-a）²+3-a²，定义域是实数，g（x）＞0恒成立．求出a的范围；值域为R：log

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2

μ值域为R，可得μ至少取遍所有的正实数，求出a的范围即可．
（2）实数a的取何值时f（x）在[-1，+∞）上有意义，命题等价于：μ=g（x）＞0对于任意x∈[-1，+∞）恒成立，求出a；
实数a的取何值时函数的定义域为（-∞，1）∪（3，+∞）：求出a；“有意义问题”正好转化成“恒成立问题”来处理，
而“定义域问题”刚好转化成“取遍所有问题”来解决．

解答：解：记μ=g（x）=（x-a）²+3-a²，则f(x)=log

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μ；
（1）不一样；（1分）
定义域为R?g（x）＞0恒成立．
得：△=4（a²-3）＜0，解得实数a的取值范围为(-

3

，

3

)．（4分）
值域为R：log

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2

μ值域为R?μ至少取遍所有的正实数，
则△=4（a²-3）≥0，解得实数a的取值范围为(-∞，-

3

]∪[

3

，+∞)．（6分）
（2）实数a的取何值时f（x）在[-1，+∞）上有意义：
命题等价于μ=g（x）＞0对于任意x∈[-1，+∞）恒成立，
则

a＜-1 g(-1)＞0

或

a≥-1 3-a2＞0

，解得实数a得取值范围为(-2，

3

)．（8分）
实数a的取何值时函数的定义域为（-∞，1）∪（3，+∞）：
由已知得二次不等式x²-2ax+3＞0的解集为（-∞，1）∪（3，+∞）可得1+3=2a，
则a=2．故a的取值范围为{2}．（11分）
区别：“有意义问题”正好转化成“恒成立问题”来处理，
而“定义域问题”刚好转化成“取遍所有问题”来解决
（这里转化成了解集问题，即取遍解集内所有的数值）（12分）

点评：本题考查对数函数的定义域，函数恒成立问题，对数函数的值域与最值，考查逻辑思维能力，是中档题．