Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点为F₁，F₂，过F₁的直线l与椭圆相交于A，B两点．
（1）若∠AF₁F₂=60°，且点A在以F₁F₂为直径的圆上，求椭圆的离心率；
（2）若a=

2

，b=1，求

F2A

•

F2B

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用圆的性质、含60°角的直角三角形的性质、椭圆的定义及其离心率计算公式即可得出；
（2）利用已知即可得出椭圆的标准方程及其焦点，分类讨论直线AB的斜率，当斜率存在时与椭圆方程联立得到根与系数的关系，利用向量运算及相等即可得出．

解答：解：（1）∵点A在以F₁F₂为直径的圆上，∴AF₁⊥AF₂，
∵∠AF₁F₂=60°，∴|F₁F₂|=2|AF₁|，|AF2|=

3

|AF1|，
∴2a=|AF₁|+|AF₂|，2c=|F₁F₂|，
∴离心率e=

c

a

=

|F1F2|

|AF1|+|AF2|

=

3

-1．
（2）∵a=

2

，b=1，∴c=1，点F₁（-1，0），F₂（1，0）．
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．
①若AB垂直于x轴，A(-1，

2

2

)，B(-1，-

2

2

)，
∴

F2A

=(-2，

2

2

)，

F2B

=(-2，-

2

2

)，∴

F2A

•

F2B

=4-

1

2

=

7

2

．
②若AB与x轴不垂直，设直线的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x+1），
由

y=k(x+1) x2+2y2-2=0

，得（1+2k²）x²+4k²x+2（k²-1）=0，
∵△=8k²+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x1+x2=-

4k2

1+2k2

，x1•x2=

2(k2-1)

1+2k2

，

F2A

•

F2B

=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+1)(x2+1)=(1+k2)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+1+k2
=(1+k2)•

2(k2-1)

1+2k2

+(k2-1)•(-

4k2

1+2k2

)+1+k2=

7k2-1

1+2k2

=

7

2

-

9

2(1+2k2)

，
∵k2≥0，1+2k2≥1，0＜

1

1+2k2

≤1，
∴

F2A

•

F2B

∈[-1，

7

2

)．
综合①，②得，

F2A

•

F2B

∈[-1，

7

2

]，
∴当直线l垂直于x轴时，

F2A

•

F2B

取得最大值

7

2

，当直线l与x轴重合时，

F2A

•

F2B

取得最小值-1．

点评：熟练掌握分类讨论思想方法、椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的运算相等等是解题的关键．