Question

已知函数f（x）=

(1+sinx)(3+sinx)

2+sinx

，g（x）=ax+1（a＞0），对任意的x₂∈[-1，1]，总存在x₁∈[π，

3π

2

]，使f（x₁）=g（x₂），则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：由任意的x₂∈[-1，1]，总存在x₁∈[π，

3π

2

]，使f（x₁）=g（x₂），可得g（x）=ax+1在x₂∈[-1，1]的值域为f（x）在x₁∈[π，

3π

2

]的值域的子集，构造关于a的不等式组，可得结论．

解答： 解：当x₁∈[π，

3π

2

]时，sinx∈[-1，0]，
令t=sinx，则y=f（x）=

(1+sinx)(3+sinx)

2+sinx

=

(1+t)(3+t)

2+t

=t+2-

1

t+2

，
由y=t+2-

1

t+2

在[-1，0]上为增函数，
故y∈[0，

3

2

]，
任意的x₂∈[-1，1]，总存在x₁∈[π，

3π

2

]，使f（x₁）=g（x₂），
∴当x₂∈[-1，1]时，g（x₂）⊆[0，

3

2

]
∵a＞0，
∴

-a+1≥0 a+1≤ 3 2

，解得0＜a≤

1

2

，
∴实数a的取值范围是（0，

1

2

]
故答案为：（0，

1

2

]

点评：本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，其中根据已知分析出“g（x）=ax+1在x₂∈[-1，1]的值域为f（x）在x₁∈[π，

3π

2

]的值域的子集”是解答的关键．