Question

19．已知实数a，b，c满足a²+b=lna，则（a-c）²+（b+c-2）²的最小值为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 8
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 根据距离公式可知（a-c）²+（b+c-2）²表示（a，b）到（c，-c+2）的距离的平方，而（a，b）在曲线y=lnx-x²上，（c，-c+2）在直线y=-x+2上，将问题转为求y=lnx-x²的切线与y=-x+2的距离平方．

解答 解：∵a²+b=lna，∴b=lna-a²，
又（c，-c+2）在直线y=-x+2上，
∴（a-c）²+（b+c-2）²的最小值为曲线y=lnx-x²上的点到直线y=-x+2的最小距离的平方．
设直线y=-x+m与曲线y=lnx-x²相切，切点为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=ln{x}_{0}-{{x}_{0}}^{2}}\\{{y}_{0}=-{x}_{0}+m}\\{\frac{1}{{x}_{0}}-2{x}_{0}=-1}\end{array}\right.$，解得x₀=1，y₀=-1，m=0，
∴直线y=-x与直线y=-x+2的距离为$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴（a-c）²+（b+c-2）²的最小值为2．
故选D．

点评 本题考查了利用导数研究曲线的切线性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．