Question

14．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且直线x=1与椭圆相交所得弦长为$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）若在y轴上的截距为4的直线l与椭圆分别交于A，B两点，O为坐标原点，且直线OA，OB的斜率之和等于2，求直线AB的斜率．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的离心率求得a²=4b²，由题意过点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，由k_OA+k_OB=0，即可求得k的值．

解答 解：（1）题意可知：椭圆经过点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则a²=4b²，
将（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），代入椭圆方程：$\frac{1}{4{b}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1$，解得：b²=1，a²=4，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）设直线l_AB：y=kx+4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+4}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+4k²）x²+32kx+60=0，
由△=（32k）²-240（1+4k²）＞0，解得k＞$\frac{\sqrt{15}}{2}$或k＜-$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
由韦达定理可知x₁+x₂=-$\frac{32k}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{60}{1+4{k}^{2}}$，
k_OA+k_OB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{（k{x}_{1}+4）{x}_{2}+（k{x}_{2}+4）{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2k+4×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2k+4×（-$\frac{32k}{60}$），
∵直线OA，OB的斜率之和等于2，即2k+4×（-$\frac{32k}{60}$）=2，解得k=-15，
∴直线AB的斜率-15．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．