Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且椭圆C上的点到椭圆右焦点F的最小距离为$\sqrt{2}$-1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F且不与坐标轴平行的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，线段AB的中点为M，直线MP⊥AB，若P点的坐标为（x₀，0），求x₀的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率a=$\sqrt{2}$c，由当点位于右顶点时，到椭圆右焦点F的最小距离，则a-c=$\sqrt{2}$-1，即可求得a和b的值；
（Ⅱ）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，中点坐标公式，即可求得MP的方程，求得x₀，根据函数单调性即可求得x₀的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$c，由当点位于右顶点时，到椭圆右焦点F的最小距离，最小值为a-c，
则a-c=$\sqrt{2}$-1，则a=$\sqrt{2}$，c=1，
b²=a²-c²=1，
∴椭圆的方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点为M（x_M，y_M）．
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，由△＞0，
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，则x_M=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，y_M=k（x_M-1）=-$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$，
∴AB的垂直平分线MP的方程为y-y_M=-$\frac{1}{k}$（x-x_M），
令y=0，得x₀=x_M+ky_M=$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4{k}^{2}+2}$，
∵k≠0，∴0＜x₀＜$\frac{1}{2}$．
∴x₀的取值范围（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、线段的垂直平分线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．