Question

15．已知函数f（x）=$\frac{sinx}{x}$．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点A（π，f（π））处的切线方程；
（Ⅱ）证明：若x∈（0，π），则f'（x）＜0；
（Ⅲ）若0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜2π，判定f（α）与f（β）的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f′（π），再求出f（π），代入直线方程的点斜式得答案；
（Ⅱ）求出原函数的导函数f′（x）=$\frac{x•cosx-sinx}{{x}^{2}}$，令g（x）=x•cosx-sinx，可得g′（x）＜0，得到g（x）在（0，π）上为减函数，又g（x）＜g（0）=0．可得f′（x）＜0；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，f（x）在（0，π）上为减函数，得到0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π时，f（α）＞f（β）；当π≤β＜2π时，f（β）=$\frac{sinβ}{β}$＜0，可得f（α）＞f（β）．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{x•cosx-sinx}{{x}^{2}}$，
f′（π）=-$\frac{1}{π}$，而f（π）=0，
∴曲线y=f（x）在点A（π，f（π））处的切线方程为y-0=$-\frac{1}{π}$（x-π），
即x+πy-π=0；
证明：（Ⅱ）f′（x）=$\frac{x•cosx-sinx}{{x}^{2}}$，
令g（x）=x•cosx-sinx，则g′（x）=cosx-x•sinx-cosx=-xsinx＜0，
∴g（x）在（0，π）上为减函数，则g（x）＜g（0）=0．
∴f′（x）＜0；
解：（Ⅲ）若0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜2π，则f（α）＞f（β）．
事实上，当0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π时，
由（Ⅱ）知f′（x）＜0，
故f（x）在（0，π）上为减函数，
由0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，可得f（α）＞f（β）；
当0＜α＜$\frac{π}{2}$，π≤β＜2π时，f（α）=$\frac{sinα}{α}＞0$，f（β）=$\frac{sinβ}{β}$＜0，可得f（α）＞f（β）．
综上，若0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜2π，则f（α）＞f（β）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求过曲线上某点处的切线方程，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．