Question

8．已知椭圆Г：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F，点P（1，1），PF⊥x轴，椭圆Г上的两动点R，S关天原点对称，且$\overrightarrow{RP}$•$\overrightarrow{SP}$的最小值为-2．
（1）求椭圆Г的方程；
（2）过P作两条动直线l₁、l₂分别交Г于A，B和C，D，弦AB，CD的中点分别为M、N，若直线l₁，l₂的倾斜角互余，求证：直线MN过定点．

Answer 1

分析 （1）设S（acosθ，bsinθ），则R（-acosθ，-bsinθ），用θ表示出$\overrightarrow{RP}$•$\overrightarrow{SP}$，从而得出a的值，结合c=1得出椭圆方程；
（2）设l₁方程为y=k（x-1）+1，联立方程组利用根与系数的关系和中点坐标公式求出M，N的坐标，得出直线MN的方程，即可得出结论．

解答 解：（1）∵PF⊥x轴，P（1，1），∴F（1，0），即c=1．
设S（acosθ，bsinθ），则R（-acosθ，-bsinθ），
∴$\overrightarrow{SP}$=（1-acosθ，1-bsinθ），$\overrightarrow{RP}$=（1+acosθ，1+bsinθ），
∴$\overrightarrow{RP}$•$\overrightarrow{SP}$=1-a²cos²θ+1-b²sin²θ=2-a²cos²θ-（a²-1）sin²θ=2-a²+sin²θ，
∴当sin²θ=0时，$\overrightarrow{RP}$•$\overrightarrow{SP}$取得最小值2-a²=-2，∴a²=4，
∴b²=4-1=3，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）设l₁方程为y=k（x-1）+1，则直线l₂的方程为y=$\frac{1}{k}$（x-1）+1，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消元得（3+4k²）x²+8k（1-k）x+4（k-1）²-12=0．
∴x_M=$\frac{4k（k-1）}{3+4{k}^{2}}$，y_M=k（x_M-1）+1=$\frac{3-3k}{3+4{k}^{2}}$，
∴M（$\frac{4k（k-1）}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3-3k}{3+4{k}^{2}}$），
把k换成$\frac{1}{k}$即可得N（$\frac{4-4k}{3{k}^{2}+4}$，$\frac{3k（k-1）}{3{k}^{2}+4}$），
∴直线MN的斜率为$\frac{\frac{3k（k-1）}{3{k}^{2}+4}-\frac{3-3k}{3+4{k}^{2}}}{\frac{4-4k}{3{k}^{2}+4}-\frac{4k（k-1）}{3+4{k}^{2}}}$=-$\frac{3}{4}$•$\frac{4{k}^{2}-k+4}{3{k}^{2}+k+3}$，
∴直线MN的方程为：y-$\frac{3-3k}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$•$\frac{4{k}^{2}-k+4}{3{k}^{2}+k+3}$（x-$\frac{4k（k-1）}{3+4{k}^{2}}$），
∴直线MN过定点（4，-3）．

点评 本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．