Question

9．一个圆经过椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$的三个顶点，且圆心在x轴的负半轴上，则该圆的标准方程为${（{x+\frac{3}{2}}）^2}+{y^2}=\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 由椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，进一步求出圆的半径可得圆的方程．

解答 解：由$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$，可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2），
∵圆经过椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$的三个顶点，且圆心在x轴上．
当圆经过椭圆右顶点及短轴两端点时，
设圆的圆心（a，0），a＞0，则$\sqrt{{a}^{2}+4}$=4-a，解得a=$\frac{3}{2}$，
由椭圆在x轴正半轴，不满足；
当圆经过椭圆左顶点及短轴两端点时，
设圆的圆心（a，0），a＜0，则$\sqrt{{a}^{2}+4}$=4+a，解得a=-$\frac{3}{2}$，圆的半径为r=$\frac{5}{2}$，
∴所求圆的方程：（x+$\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{25}{4}$，
故答案为：（x+$\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质的应用，圆的方程的求法，考查计算能力，是基础题．