Question

19．已知函数f（x）=ax³-x²+x-5在（-∞，+∞）上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围为（　　）

• A． a＞$\frac{1}{3}$
• B． a≥$\frac{1}{3}$
• C． a＜$\frac{1}{3}$且a≠0
• D． a≤$\frac{1}{3}$且a≠0

Answer 1

分析 先求导函数，根据函数在区间（-∞，+∞）内既有极大值，又有极小值，故导函数为0的方程有不等的实数根，可求实数a的取值范围．

解答 解：求导函数：f′（x）=3ax²-2x+1，
∵函数f（x）=ax³-x²+x-6既有极大值又有极小值，
∴a≠0，且△=4-12a＞0，∴a＜$\frac{1}{3}$且a≠0．
故选：C．

点评 本题的考点是函数在某点取得极值的条件，主要考查学生利用导数研究函数极值的能力，关键是将问题转化为导函数为0的方程有不等的实数根．