Question

5．已知数列{a_n}是无穷等比数列，它的前n项的和为S_n，该数列的首项是二项式${（{x+\frac{1}{x}}）^7}$展开式中的x的系数，公比是复数$z=\frac{1}{{1+\sqrt{3}i}}$的模，其中i是虚数单位，则$\lim_{n→∞}{S_n}$=70．

Answer 1

分析 由题意，该数列的首项是二项式${（{x+\frac{1}{x}}）^7}$展开式中的x的系数${C}_{7}^{3}$=35，公比是复数$z=\frac{1}{{1+\sqrt{3}i}}$的模$\frac{1}{2}$，即可求出极限．

解答 解：由题意，该数列的首项是二项式${（{x+\frac{1}{x}}）^7}$展开式中的x的系数${C}_{7}^{3}$=35，
公比是复数$z=\frac{1}{{1+\sqrt{3}i}}$的模$\frac{1}{2}$，
∴$\lim_{n→∞}{S_n}$=$\frac{35}{1-\frac{1}{2}}$=70，
故答案为70．

点评 本题考查二项式定理的运用、复数的模、数列的极限，考查学生的计算能力，知识综合性强．