Question

9．己知函数f（x）=lnx+x²-3x+2．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：对任意n∈N*，都有ln（1+n）＞$\sum_{i=1}^{n}\frac{1-1}{{i}^{2}}$成立．

Answer 1

分析 （1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0，解得的区间就是单调增区间；
（2）由（1）知，函数g（x）=lnx+x²-3x+在[1，+∞）单调递增，可得lnx+x²-3+x≥g（1）=0，即lnx≥-x²+3x-2=-（x-1）（x-2），令x=1+$\frac{1}{n}$，则ln（1+$\frac{1}{n}$）＞$\frac{1}{n}-\frac{1}{{n}^{2}}$=$\frac{n-1}{{n}^{2}}$．利用“累加求和”及对数的运算法则即可得出．

解答 解：（1）解：f（x）=x²-3x+2+lnx，定义域为（0，+∞）．
f'（x）=2x-3+$\frac{1}{x}$=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$＞0
解得0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞1
∴函数f（x）的单调增区间（0，$\frac{1}{2}$）和（1，+∞），减区间为（$\frac{1}{2}$，1）
（2）证明：由（1）知当a=1时，函数g（x）=lnx+x²-3x+2在[1，+∞）单调递增，
∴lnx+x²-3x+2≥g（1）=0，即lnx≥-x²+3x-2=-（x-1）（x-2），
令x=1+$\frac{1}{n}$，则ln（1+$\frac{1}{n}$）＞$\frac{1}{n}-\frac{1}{{n}^{2}}$=$\frac{n-1}{{n}^{2}}$．
∴ln（1+1）+ln（1+$\frac{1}{2}$）+…+ln（1+$\frac{1}{n}$）＞$\frac{1-1}{{1}^{2}}+\frac{2-1}{{2}^{2}}+\frac{3-1}{{3}^{2}}+…+\frac{n-1}{{n}^{2}}$
ln2+ln3-ln2+ln4-ln3+…+ln（n+1）-lnn＞$\frac{1-1}{{1}^{2}}+\frac{2-1}{{2}^{2}}+\frac{3-1}{{3}^{2}}+…+\frac{n-1}{{n}^{2}}$
ln（1+n）＞$\sum_{i=1}^{n}\frac{1-1}{{i}^{2}}$（证毕）．

点评 本题考查了导数的应用、分类讨论、利用导数研究函数的单调性、善于利用已经证明的结论、“累加求和”及对数的运算法则，属于中档题．