Question

14．已知O是△ABC的外心，∠C=45°，若$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$（m，n∈R），则m+n的取值范围是（　　）

• A． [$-\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]
• B． [$-\sqrt{2}$，1）
• C． [$-\sqrt{2}$，-1）
• D． （1，$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 利用已知条件，得∠AOB=90°，两边平方$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$（m，n∈R），⇒m²+n²=1，结合基本不等式，即可求得结论．

解答 解：设圆的半径为1，则由题意m、n不能同时为正，∴m+n＜1…①
∵∠C=45°，O是△ABC的外心，∴∠AOB=90°．
两边平方$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$（m，n∈R），
即可得出1=m²+n²+2mncos∠AOB⇒m²+n²=1…②，
又∵$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2}≥（\frac{m+n}{2}）^{2}$…③
由①②③得-$\sqrt{2}$≤m＜1．
故选：B．

点评 本题考查向量知识的运用，基本不等式的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．