Question

3．设点F₁、F₂是平面上左、右两个不同的定点，|F₁F₂|=2m，动点P满足：$|P{F_1}|•|P{F_2}|（1+cos∠{F_1}P{F_2}）=6{m^2}$．
（1）求证：动点P的轨迹Γ为椭圆；
（2）抛物线C满足：①顶点在椭圆Γ的中心；②焦点与椭圆Γ的右焦点重合．
设抛物线C与椭圆Γ的一个交点为A．问：是否存在正实数m，使得△AF₁F₂的边长为连续自然数．若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意，分2种情况讨论：①点P、F₁、F₂构成三角形，②点P、F₁、F₂不构成三角形，每种情况下分析可得|PF₁|+|PF₂|=4m，由椭圆的定义分析可得答案；
（2）根据题意，由（1）可得，动点P的轨迹方程，分析可得抛物线的焦点坐标，假设存在满足条件的实数m，结合椭圆与抛物线的性质分析可得m的值，即可得答案．

解答 解：（1）证明：根据题意，分2种情况讨论：
若点P、F₁、F₂构成三角形，又由$cos∠{F_1}P{F_2}=\frac{{|P{F_1}{|^2}+|P{F_2}{|^2}-|{F_1}{F_2}{|^2}}}{{2|P{F_1}|•|P{F_2}|}}$，
则$|P{F_1}|•|P{F_2}|（1+\frac{{|P{F_1}{|^2}+|P{F_2}{|^2}-|{F_1}{F_2}{|^2}}}{{2|P{F_1}|•|P{F_2}|}}）=6{m^2}$．
整理得${（|P{F_1}|+|P{F_2}|）^2}=16{m^2}$，即|PF₁|+|PF₂|=4m（4m＞2m＞0）．
若点P、F₁、F₂不构成三角形，即P、F₁、F₂三点共线；
也满足|PF₁|+|PF₂|=4m（4m＞2m＞0）．
所以动点P的轨迹为椭圆．
（2）根据题意，由（1）可得，动点P的轨迹方程为$\frac{x^2}{{4{m^2}}}+\frac{y^2}{{3{m^2}}}=1$．
抛物线的焦点坐标为（m，0）与椭圆的右焦点F₂重合．
假设存在实数m，使得△AF₁F₂的边长为连续自然数．
因为|PF₁|+|PF₂|=4m=2|F₁F₂|，
不妨设||AF₁|=2m+1，$|{F_1}{F_2}|=2m，|A{F_2}|=2m-1\;（m∈{N^*}）$．
由抛物线的定义可知|AF₂|=2m-1=x_A+m，解得x_A=m-1，
设点A的坐标为（m-1，y_A），$\left\{{\begin{array}{l}{{y_A}^2=4m（m-1）}\\{\frac{{{{（m-1）}^2}}}{{4{m^2}}}+\frac{{{y_A}^2}}{{3{m^2}}}=1}\end{array}}\right.$
整理得7m²-22m+3=0，解得$m=\frac{1}{7}（舍）$或m=3．
所以存在实数m=3，使得△AF₁F₂的边长为连续自然数．

点评 本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系；关键是掌握椭圆的几何性质．