Question

18．设函数f（x）=|2x-1|+|x+1|．
（1）解不等式f（x）＜2；
（2）求直线y=3与f（x）的图象所围成的封闭图形的面积．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，解不等式f（x）＜2；
（2）直线y=3与f（x）的图象所围成的封闭图形是三角形，即可求出其面积．

解答 解：（1）①当x＜-1时，不等式f（x）＜2即1-2x+（-x-1）＜2，∴x＞-$\frac{2}{3}$，∴此时无解；
②当-1≤x＜$\frac{1}{2}$时，不等式即1-2x+x+1＜2，∴x＞0，∴此时0＜x＜$\frac{1}{2}$；
③当x≥$\frac{1}{2}$时，原不等式即2x-1+x+1＜2，∴x＜$\frac{2}{3}$，∴此时$\frac{1}{2}$≤x＜$\frac{2}{3}$，
∴综上，原不等式解集为{x|0＜x＜$\frac{2}{3}$}；
（2）直线y=3与f（x）的图象所围成的封闭图形，如图所示
y=3时，x=-1或1，
x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{3}{2}$，∴所求面积为$\frac{1}{2}×2×\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查不等式的解法，考查三角形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．