Question

13．已知函数f（x）=（2x²+x）lnx-（2a+1）x²-（a+1）x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求b-a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，f′（x）=（4x+1）（lnx-1）=0，得x=e．x∈（0，e）时，f′（x）＜0，∈（e，+∞）时，f′（x）＞0．即可得函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）由题意得f′（x）=（4x+1）（lnx-a），（x＞0）．可得函数f（x）的单调增区间为（e^a，+∞），减区间为（0，e^a）即f（x）≥0恒成立，b≥e^2a+e^a．即b-a≥e^2a+e^a-a，构造函数g（t）=t²+t-lnt，（t＞0），g′（t）=$\frac{（2t-1）（t+1）}{t}$．可得g（t）_min=g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}+ln2$．即可得b-a的最小值．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=（2x²+x）lnx-3x²-2x+b（x＞0）．
f′（x）=（4x+1）（lnx-1），令f′（x）=0，得x=e．
x∈（0，e）时，f′（x）＜0，∈（e，+∞）时，f′（x）＞0．
函数f（x）的单调增区间为（e，+∞），减区间为（0，e）；
（Ⅱ）由题意得f′（x）=（4x+1）（lnx-a），（x＞0）．
令f′（x）=0，得x=e^a．
x∈（0，e ^a）时，f′（x）＜0，∈（e^a ，+∞）时，f′（x）＞0．
函数f（x）的单调增区间为（e^a，+∞），减区间为（0，e^a）
∴f（x）_min=f（e^a）=-e^2a-e^a+b，
∵f（x）≥0恒成立，∴f（e^a）=-e^2a-e^a+b≥0，则b≥e^2a+e^a．
∴b-a≥e^2a+e^a-a
令e^a=t，（t＞0），∴e^2a+e^a-a=t²+t-lnt，
设g（t）=t²+t-lnt，（t＞0），g′（t）=$\frac{（2t-1）（t+1）}{t}$．
当t∈（0，$\frac{1}{2}$）时，g′（t）＜0，当t$∈（\frac{1}{2}，+∞）$时，g′（t）＞0．
∴g（t）在（0，$\frac{1}{2}$）上递减，在（$\frac{1}{2}$，+∞）递增．
∴g（t）_min=g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}+ln2$．
f（x）≥0恒成立，b-a的最小值为$\frac{3}{4}+ln2$．

点评 本题考查了导数的综合应用，利用导数求单调区间及最值，属于中档题．