Question

5．已知n=${∫}_{0}^{2}$（2x+1）dx，则（$\frac{3}{\sqrt{x}}$-$\root{3}{x}）^{n}$ⁿ的展开式中x²的系数为-18．

Answer 1

分析 利用定积分先求出n=6，再利用二项式定理通项公式求出T_r+1=${C}_{6}^{r}（\frac{3}{\sqrt{x}}）^{6-r}（-\root{3}{x}）^{r}$，由此能求出（$\frac{3}{\sqrt{x}}$-$\root{3}{x}）^{n}$ⁿ的展开式中x²的系数．

解答 解：n=${∫}_{0}^{2}$（2x+1）dx=（x²+x）|${\;}_{0}^{2}$=6，
∴（$\frac{3}{\sqrt{x}}$-$\root{3}{x}）^{n}$ⁿ=（$\frac{3}{\sqrt{x}}$-$\root{3}{x}）^{n}$⁶，
T_r+1=${C}_{6}^{r}（\frac{3}{\sqrt{x}}）^{6-r}（-\root{3}{x}）^{r}$=（3^6-r）（-1）^r${C}_{6}^{r}$${x}^{\frac{2r-6}{2}}$，
令$\frac{2r-6}{2}$=2，得r=5，
∴（$\frac{3}{\sqrt{x}}$-$\root{3}{x}）^{n}$ⁿ的展开式中x²的系数为：（3^6-5）（-1）⁵${C}_{6}^{5}$=-18．
故答案为：-18．

点评 本题考查定积分、二项式定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．