Question

14．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x+$\frac{1}{ax}$（x＞0）都在x=x₀处取得最小值．
（1）求f（x₀）-g（x₀）的值．
（2）设函数h（x）=f（x）-g（x），h（x）的极值点之和落在区间（k，k+1），k∈N，求k的值．

Answer 1

分析 （1）先利用导数求出f（x）的极值点和极值，继而求出a的值，再求出g（x）的极值，问题得以解决，
（2）先求导得到h′（x）=lnx-$\frac{1}{{e}^{2}{x}^{2}}$，再根据函数零点存在定理即可判断零点所在的区间．

解答 解：（1）∵f（x）=xlnx，x＞0，
∴f′（x）=1+lnx，
令f′（x）=1+lnx=0，解得x=$\frac{1}{e}$，
当x＞$\frac{1}{e}$时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当0＜x＜$\frac{1}{e}$时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
∴当x=$\frac{1}{e}$，且f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，
∵f（x）=xlnx，g（x）=x+$\frac{1}{ax}$（x＞0）都在x=x₀处取得最小值，
∴x₀=$\frac{1}{e}$，
∵g（x）=x+$\frac{1}{ax}$（x＞0），
∴g′（x）=1-$\frac{1}{a{x}^{2}}$，
∴g′（$\frac{1}{e}$）=1-$\frac{{e}^{2}}{a}$=0，
解得a=e²，
∴g（x₀）=g（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$+$\frac{1}{{e}^{3}}$，
∴f（x₀）-g（x₀）=-$\frac{1}{e}$+$\frac{1}{e}$+$\frac{1}{{e}^{3}}$=$\frac{1}{{e}^{3}}$，
（Ⅱ）函数h（x）=f（x）-g（x）=xlnx-x-$\frac{1}{{e}^{2}x}$，
∴h′（x）=1+lnx-1+$\frac{1}{{e}^{2}{x}^{2}}$=lnx-$\frac{1}{{e}^{2}{x}^{2}}$，
设φ（x）=lnx-$\frac{1}{{e}^{2}{x}^{2}}$，
∴φ′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{{e}^{2}{x}^{3}}$＞0，
∴h′（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴h′（1）•h（e）＜0，
∴h′（x）在（1，e）上存在唯一的零点，
∵h（x）的极值点之和落在区间（k，k+1），
∴k=1．

点评 本题考查了导数和函数函数的极值和最值问题，以及函数的零点存在定理，属于中档题