Question

9．已知双曲线的中心在原点O，左焦点为F₁，圆O过点F₁，且与双曲线的一个交点为P，若直线PF₁的斜率为$\frac{1}{3}$，则双曲线的渐近线方程为（　　）

• A． y=±x
• B． y=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$x
• C． y=±$\frac{\sqrt{6}}{4}$x
• D． y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x

Answer 1

分析 设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），设P为右支上一点，右焦点为F₂，可得PF₁⊥PF₂，运用双曲线的定义和正切函数的定义，以及勾股定理可得2c²=5a²，再由a，b，c的关系，可得a，b的关系，即可得到所求渐近线方程．

解答 解：设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
圆O过点F₁，且与双曲线的一个交点为P，
设P为右支上一点，右焦点为F₂，
可得PF₁⊥PF₂，
由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
直线PF₁的斜率为$\frac{1}{3}$，可得$\frac{|P{F}_{2}|}{|P{F}_{1}|}$=$\frac{1}{3}$，
解得|PF₁|=3a，|PF₂|=a，
再由勾股定理可得，|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
即有9a²+a²=4c²，即2c²=5a²=2（a²+b²），
可得3a²=2b²，
即为$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
可得双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
即为y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的定义和圆的性质，以及勾股定理的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．