Question

18．设函数f（x）=|x+$\frac{3}{a}$|+|x-2a|．
（1）证明：f（x）≥2$\sqrt{6}$；
（2）若a＞0，且f（2）＜5，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值不等式，结合基本不等式，即可证明结论；
（2）若a＞0，且f（2）＜5，则|2+$\frac{3}{a}$|+|2-2a|＜5，分类讨论，解不等式，即可求a的取值范围．

解答 （1）证明：f（x）=|x+$\frac{3}{a}$|+|x-2a|≥|x+$\frac{3}{a}$-x+2a|≥|$\frac{3}{a}$|+|2a|≥2$\sqrt{6}$；
（2）解：若a＞0，且f（2）＜5，则|2+$\frac{3}{a}$|+|2-2a|＜5．
0＜a≤1，不等式化为$\frac{3}{a}$-2a-1＜0，不成立；
a＞1，不等式化为$\frac{3}{a}$+2a-5＜0，∴1＜a＜1.5，
综上所述，1＜a＜1.5．

点评 本题考查不等式的解法与证明，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．