Question

20．如图，在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=AC=2，AB⊥AC，D，E，F分别是A₁B₁，CC₁，BC的中点． 
（1）求证：AE⊥DF；
（2）求AE与平面DEF所成角的大小及点A到平面DEF的距离．

Answer 1

分析 （1）以A为坐标原点、AB为x轴、AC为y轴、AA₁为z轴建立如图的空间直角坐标系．求出相关的坐标，利用向量的数量积为0，证明$\overrightarrow{AE}⊥\overrightarrow{DF}$，推出AE⊥DF． 
（2）求出平面DEF的一个法向量，设AE与平面DEF所成角为θ，利用向量的数量积求解AE与平面DEF所成角，然后求解点A到平面DEF的距离．

解答 解：（1）以A为坐标原点、AB为x轴、AC为y轴、AA₁为z轴建立如图的空间直角坐标系．

由题意可知A（0，0，0），D（0，1，2），E（-2，0，1），F（-1，1，0），
故$\overrightarrow{AE}=（-2，0，1），\overrightarrow{DF}=（-1，0，-2）$，…（4分）
由$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{DF}=-2×（-1）+1×（-2）=0$，
可知$\overrightarrow{AE}⊥\overrightarrow{DF}$，即AE⊥DF．  …（6分）
（2）设$\overrightarrow n=（x，y，1）$是平面DEF的一个法向量，
又$\overrightarrow{DF}=（-1，0，-2），\overrightarrow{EF}=（1，1，-1）$，
故由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{DF}=-x-2=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{EF}=x+y-1=0}\end{array}}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=3}\end{array}}\right.$故$\overrightarrow n=（-2，3，1）$．  …（9分）
设AE与平面DEF所成角为θ，则$sinθ=\frac{{|\overrightarrow n•\overrightarrow{AE}|}}{{|\overrightarrow n|•|\overrightarrow{AE}|}}=\frac{5}{{\sqrt{14}•\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{70}}}{14}$，…（12分）
所以AE与平面DEF所成角为$arcsin\frac{{\sqrt{70}}}{14}$，
点A到平面DEF的距离为$AE•sinθ=\frac{5}{14}\sqrt{14}$． …（14分）

点评 本题考查直线与平面所成角的求法，直线与直线垂直的判定方法，考查空间想象能力以及计算能力．