Question

16．设数列{a_n}满足a₁=2，a₂=6，且a_n+2-2a_n+1+a_n=2，用[x]表示不超过x的最大整数，如[0.6]=0，[1.2]=1，则$[{\frac{m}{a_1}+\frac{m}{a_2}+…+\frac{m}{a_m}}]$的值用m表示为m-1．

Answer 1

分析 构造b_n=a_n+1-a_n，则b₁=a₂-a₁=4，由题意可得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=b_n+1-b_n=2，利用等差数列的通项公式可得b_n，利用“累加求和”方法可得a_n．进而得出结论．

解答 解：构造b_n=a_n+1-a_n，则b₁=a₂-a₁=4，
由题意可得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=b_n+1-b_n=2，
故数列{b_n}是4为首项2为公差的等差数列，
故b_n=a_n+1-a_n=4+2（n-1）=2n+2，
故a₂-a₁=4，a₃-a₂=6，a₄-a₃=8，…，a_n-a_n-1=2n，
以上n-1个式子相加可得a_n-a₁=$\frac{（n-1）（4+2n）}{2}$，解得a_n=n（n+1），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
则$[{\frac{m}{a_1}+\frac{m}{a_2}+…+\frac{m}{a_m}}]$=$[m（1-\frac{1}{m+1}）]$=$[m-1+\frac{1}{m+1}]$=m-1．
故答案为：m-1．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、“累加求和”与“裂项求和”方法、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．