Question

1．设函数f（x）=lnx+m（x²-x），m∈R．
（Ⅰ）当m=-1时，求函数f（x）的最值；
（Ⅱ）若函数f（x）有极值点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当m=-1时，求出函数的导数判断导函数的符号，然后求解函数的最值．
（Ⅱ）令$f'（x）=\frac{{2m{x^2}-mx+1}}{x}$，x∈（0，+∞），通过当m=0时，当m＞0时，①若0＜m≤8，②若m＞8时分别判断导函数的符号，求出函数的极值求解a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）当m=-1时，$f'（x）=\frac{1}{x}-（2x-1）=-\frac{{2{x^2}-x-1}}{x}=-\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$，x∈（0，+∞），
当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
所以函数f（x）在x=1处取得极大值，也是最大值，且f（x）_max=f（1）=0．
（Ⅱ）令$f'（x）=\frac{{2m{x^2}-mx+1}}{x}$，x∈（0，+∞），
当m=0时，$f'（x）=\frac{1}{x}＞0$，函数f（x）在x∈（0，+∞）上递增，无极值点；
当m＞0时，设g（x）=2mx²-mx+1，△=m²-8m．
①若0＜m≤8，△≤0，f'（x）≥0，函数f（x）在x∈（0，+∞）上递增，无极值点；
②若m＞8时，△＞0，设方程2mx²-mx+1=0的两个根为x₁，x₂（不妨设x₁＜x₂），
因为${x_1}+{x_2}=\frac{1}{2}$，g（0）=1＞0，所以$0＜{x_1}＜\frac{1}{4}$，${x_2}＞\frac{1}{4}$，
所以当x∈（0，x₁），f'（x）＞0，函数f（x）递增；
当x∈（x₁，x₂），f'（x）＜0，函数f（x）递减；
当x∈（x₂，+∞），f'（x）＞0，函数f（x）递增；
因此函数有两个极值点．
当m＜0时，△＞0，由g（0）=1＞0，可得x₁＜0，
所以当x∈（0，x₂），f'（x）＞0，函数f（x）递增；
当x∈（x₂，+∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）递减；
因此函数有一个极值点．
综上，函数有一个极值时m＜0；函数有两个极值点时m＞8．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力．