Question

6．在△ABC中，tanA=$\frac{1}{3}$，tanC=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设α+β=B（α＞0，β＞0），求$\sqrt{2}$sinα-sinβ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用三角形内角和定理，两角和的正切函数公式可求tanB的值，结合范围0＜B＜π，可求B的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$α+β=\frac{3π}{4}$，利用三角函数恒等变换的应用化简可得$\sqrt{2}$sinα-sinβ=sin（α-$\frac{π}{4}$），结合范围$0＜α＜\frac{3π}{4}$，利用正弦函数的图象和性质可求其取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵A+B+C=π，
∴B=π-（A+C），
又$tanA=\frac{1}{3}$，$tanC=\frac{1}{2}$，
则$tanB=tan[{π-（A+C）}]=-tan（A+C）=-\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}=-1$，
∵B为△ABC的内角，
∴$B=\frac{3π}{4}$．
（Ⅱ）∵α+β=B（α＞0，β＞0），
∴$α+β=\frac{3π}{4}$．
∵$\sqrt{2}sinα-sinβ=\sqrt{2}sinα-sin（\frac{3π}{4}-α）=\sqrt{2}sinα-（\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosα+\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinα）$=$sin（α-\frac{π}{4}）$，
又α+β=B（α＞0，β＞0），
则$α∈（0，\frac{3π}{4}）$，$α-\frac{π}{4}∈（-\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$，
∴$sin（α-\frac{π}{4}）∈（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$，即$\sqrt{2}sinα-sinβ$的范围是$（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$．

点评 本题主要考查了两角和的正切函数公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于基础题．