Question

7．关于函数f（x）=ln$\frac{1-x}{1+x}$，有下列三个命题：
①f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）；
②f（x）为奇函数；
③f（x）在定义域上是增函数；
④对任意x₁，x₂∈（-1，1），都有f（x₁）+f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}}$）．
其中真命题有②④（写出所有真命题的番号）

Answer 1

分析 由函数f（x）=ln$\frac{1-x}{1+x}$=ln（$\frac{2}{1+x}-1$），根据函数的各性质依次判断各选项即可．

解答 解：函数f（x）=ln$\frac{1-x}{1+x}$=ln（$\frac{2}{1+x}-1$），
其定义域满足：（1-x）（1+x）＞0，解得：-1＜x＜1，∴定义域为{x|-1＜x＜1}．∴①不对．
由f（-x）=ln$\frac{1-x}{1+x}$=ln$\frac{1+x}{1-x}$=ln（$\frac{1-x}{1+x}$）^-1=-ln$\frac{1-x}{1+x}$=-f（x），是奇函数，∴②对．
定义域为{x|-1＜x＜1}．函数y=$\frac{2}{1+x}-1$在定义内是减函数，根据复合函数的单调性，同增异减，∴f（x）在定义域上是减函数；③不对．
f（x₁）+f（x₂）=ln$\frac{1-{x}_{1}}{1+{x}_{1}}$+ln$\frac{1-{x}_{2}}{1+{x}_{2}}$=ln（$\frac{1-{x}_{1}}{1+{x}_{1}}$×$\frac{1-{x}_{2}}{1+{x}_{2}}$）=f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}}$）．∴④对．
故答案为②④

点评 本题考查了对数函数的各性质判断和运用．属于中档题