Question

16．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₂=4，a_n+1=2S_n+1，则{a_n}的通项公式为a_n=3^n-1．

Answer 1

分析 通过a_n+1=2S_n+1与a_n=2S_n-1+1作差可知a_n+1=3a_n（n≥2），进而验证当n=1时a_n+1=3a_n也成立，从而利用等比数列通项公式计算即得结论．

解答 解：因为a_n+1=2S_n+1，
所以当n≥2时a_n=2S_n-1+1，
两式相减得：a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2），
又因为S₂=4，a₂=2a₁+1，
所以a₂=3，a₁=1，
所以当n=1时a_n+1=3a_n也成立，
所以数列{a_n}是首项为1、公比为3的等比数列，
所以a_n=3^n-1，
故答案为：a_n=3^n-1．

点评 本题考查数列的通项，考查等比数列及其判定，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．