Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+ax²-bx+1（x∈R，a，b为实数）有极值，且在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行．
（1）求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；
（3）设a=

1

2

令g（x）=

f′(x+1)

x

-3，x∈（0，+∞），求证：gⁿ（x）-xⁿ-

1

xn

≥2ⁿ-2（n∈N₊）．

Answer 1

分析：（1）函数在x=1处的切线与直线平行得f′（1）=1解出a与b的关系式，由函数有极值得方程f′（x）=0有两个不等实根，所以利用根的判别式大于零解出a的范围即可；
（2）存在．令f′（x）=0得到函数的两个稳定点，然后分区间讨论函数的增减性，得到函数的极小值令其等于1，讨论得到a的值存在，求出a即可；
（3）把a=

1

2

代入到g（x）=

f′(x+1)

x

-3中化简得到g（x）的解析式，然后用数学归纳法证明其结论成立即可．

解答：解：∵f′（x）=x²+2ax-b，∴f′（1）=1+2a-b，
又因为函数在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行，所以在x=1处的切线的斜率等于1，∴f′（1）=1∴b=2a①
∵f（x）有极值，故方程f′（x）=x²+2ax-b=0有两个不等实根∴△=4a²+4b＞0∴a²+b＞0②
由①．②可得，a²+2a＞0∴a＜-2或a＞0
故实数a的取值范围是a∈（-∞，-2）∪（0，+∞）
（2）存在a=-

8

3

∵f′（x）=x²+2ax-b，令f′（x）=0∴x₁=-a-

a2+2a

，x₂=-a+

a2+2a

∴f（x）_极小=f（x₂）=

1

3

x23+ax₂²-2ax₂+1=1
∴x₂=0或x₂²+3ax₂-6a=0
若x₂=0，即-a+

a2+2a

=0，则a=0（舍）
若x₂²+3ax₂-6a=0，又f′（x₂）=0，∴x₂²+2ax₂-2a=0，
∴ax₂-4a=0
∵a≠0∴x₂=4
∴-a+

a2+2a

=4
∴a═

8

3

＜-2
∴存在实数a=-

8

3

，使得函数f（x）的极小值为1．
（3）∵a=

1

2

，f′（x）=x²+x-1，∴f′（x+1）=x²+3x+1，∴

f′(x+1)

x

-3=

x2+1

x

=x+

1

x

∴g（x）=x+

1

x

，x∈（0，+∞）．
证明：当n=1时，左边=0，右边=0，原式成立，
假设当n=k时结论成立，即(x+

1

x

)k-x^k-

1

xk

≥2^k-2
当n=k+1时，左边=(x+

1

x

)k+1-x^k+1-

1

xk+1

≥（x+

1

x

）（2^k-2+x^k+

1

xk

）-（x^k+1+

1

xk+1

）=（x+

1

x

）（2^k-2）+x^k-1+

1

xk-1

≥2^k+1-4+2=2^k+1-2
当且仅当x=1时等号成立，即当n=k+1时原式也成立
综上当n∈N₊时，gⁿ（x）-xⁿ-

1

xn

≥2ⁿ-2成立．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，理解斜率相等时两直线互相平行，以及会用数学归纳法证明不等式．