Question

12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），且对于任意x₁，x₂∈[0，+∞），x₁≠x₂，均有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0．若f（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$，2f（log${\;}_{\frac{1}{8}}$x）＜1，则x的取值范围为（　　）

• A． （0，2）
• B． $（{\frac{1}{2}，+∞}）$
• C． $（{0，\frac{1}{2}}）∪（{2，+∞}）$
• D． $（{\frac{1}{2}，1}）∪（{1，2}）$

Answer 1

分析 根据条件即可判断出f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上单调递减，从而可由$f（-\frac{1}{3}）=\frac{1}{2}，2f（lo{g}_{\frac{1}{8}}x）＜1$得出$f（|lo{g}_{\frac{1}{8}}x|）＜f（\frac{1}{3}）$，进而得出$|lo{g}_{\frac{1}{8}}x|＞\frac{1}{3}$，解该不等式即可得出x的取值范围．

解答 解：由条件知，f（x）是偶函数，在[0，+∞）上单调递减；
$f（-\frac{1}{3}）=\frac{1}{2}，2f（lo{g}_{\frac{1}{8}}x）＜1$；
∴$f（lo{g}_{\frac{1}{8}}x）＜f（-\frac{1}{3}）$；
∴$f（|lo{g}_{\frac{1}{8}}x|）＜f（\frac{1}{3}）$；
∴$|lo{g}_{\frac{1}{8}}x|＞\frac{1}{3}$；
解得$0＜x＜\frac{1}{2}$，或x＞2；
∴x的取值范围为$（0，\frac{1}{2}）∪（2，+∞）$．
故选C．

点评 考查减函数和偶函数的定义，不等式的性质，以及对数的定义，含绝对值不等式的解法．